【題目】如圖,平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,點E、F、G分別為線段PA、PD和CD的中點.

(1)求異面直線EG與BD所成角的大;

(2)在線段CD上是否存在一點Q,使得點A到平面EFQ的距離恰為?若存在,求出線段CQ的長;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)線段CQ的長度為 .

【解析】

1)以點A為坐標原點,射線ABAD,AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建系如圖示,寫出點E0,01)、G12,0)、B2,00)、D0,2,0),和向量 ,的坐標,利用異面直線EGBD所成角公式求出異面直線EGBD所成角大小即可;

2)對于存在性問題,可先假設存在,即先假設在線段CD上存在一點Q滿足條件,設點Qx0,2,0),平面EFQ的法向量為 ,再點A到平面EFQ的距離,求出x0,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設不成立,即不存在;否則存在.

解:(1)以點A為坐標原點,射線ABAD,AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系如圖示,點E0,0,1)、G12,0)、B2,0,0)、D0,2,0),

,

設異面直線EGBD所成角為θ,

所以異面直

EGBD所成角大小為

2)假設在線段CD上存在一點Q滿足條件,

設點Qx0,20),平面EFQ的法向量為 ,

則有 得到y0zxx0,取x1

所以 ,

,

x00,解得 ,

所以點 ,

所以在線段CD上存在一點Q滿足條件,且線段CQ的長度為

練習冊系列答案
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(2)已知今年有150名學生報名學習大學先修課程,以前兩年參加大學先修課程學習成績的頻率作為今年參加大學先修課程學習成績的概率.

①在今年參與大學先修課程的學生中任取一人,求他獲得某高校自主招生通過的概率;

②某班有4名學生參加了大學先修課程的學習,設獲得某高校自主招生通過的人數(shù)為,求的分布列,并求今年全校參加大學先修課程的學生獲得大學自主招生通過的人數(shù).

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