Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，AC，BD相交于點O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，點G為BC的中點．求證：

(1) 直線OG∥平面EFCD；

(2) 直線AC⊥平面ODE.

Answer 1

【答案】證明：(1) 見解析: (2) 見解析.

【解析】試題分析：

(1)利用題意證得OG∥CD，結(jié)合線面平行的判斷定理即可證得結(jié)論；

(2)結(jié)合空間幾何體的性質(zhì)和線面垂直的判斷定理即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

證明：(1) ∵ 四邊形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，

∴ 點O是BD的中點．

∵ 點G為BC的中點，∴ OG∥CD.

∵ OG平面EFCD，CD平面EFCD，

∴ 直線OG∥平面EFCD.

(2) ∵ BF＝CF，點G為BC的中點，

∴ FG⊥BC.

∵ 平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，F(xiàn)G平面BCF，F(xiàn)G⊥BC，

∴ FG⊥平面ABCD.

∵ AC平面ABCD，∴ FG⊥AC.

∵ OG∥AB，OG＝AB，EF∥AB，EF＝AB，

∴ OG∥EF，OG＝EF，

∴ 四邊形EFGO為平行四邊形，

∴ FG∥EO.

∴ AC⊥EO.

∵ 四邊形ABCD是菱形，∴ AC⊥DO.

∵ EO∩DO＝O，EO，DO在平面ODE內(nèi)，

∴ AC⊥平面ODE.