Question

5．給下列五個(gè)命題：
①若方程x²+（a-3）x+a=0有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根，則a＜0；
②函數(shù)$y=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的值域是[-2，2]，則函數(shù)f（x+1）的值域?yàn)閇-3，1]；
④設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
⑤一條曲線$y=\left\{\begin{array}{l}3-{x^2}（x∈[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]）\\{x^2}-3（x∈（-∞，-\sqrt{3}）∪（\sqrt{3}，+∞））\end{array}\right.$和直線y=a（a∈R）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是m，則m的值不可能是1．
其中正確命題的序號(hào)為①⑤（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 由韋達(dá)定理，可判斷①；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可判斷②；根據(jù)左右平移變換不改變函數(shù)的值域，可判斷③；設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f（-x）與y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，可判斷④；分析曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷⑤

解答 解：對(duì)于①，若方程x²+（a-3）x+a=0有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根，則兩根之積為負(fù)，△＞0，即a＜0，故正確；
對(duì)于②，函數(shù)$y=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$=0，x∈{-1，1}，即是偶函數(shù)也是奇函數(shù)，故錯(cuò)；
對(duì)于③，函數(shù)f（x）的值域是[-2，2]，則函數(shù)f（x+1）的值域也為[-2，2]，故錯(cuò)誤
對(duì)于④，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f（-x）與y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，故錯(cuò)；
對(duì)于⑤，一條曲線$y=\left\{\begin{array}{l}3-{x^2}（x∈[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]）\\{x^2}-3（x∈（-∞，-\sqrt{3}）∪（\sqrt{3}，+∞））\end{array}\right.$和直線y=a（a∈R）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是m，則m的值可能是2，3，4，不可能是1，故正確；
故答案為：①⑤

點(diǎn)評(píng) 題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了韋達(dá)定理，函數(shù)圖象的變換，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，難度中檔