Question

9．已知不共線的平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=2，若向量$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$（λ，μ∈R）．且λ+μ=1，$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$，則λ=$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用λ+μ=1得出$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow$，再由$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$，代入化簡(jiǎn)，得出關(guān)于λ的方程組，從而求出λ的值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=2，
∵λ+μ=1，∴$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow$，
又$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$，
∴$\frac{[λ\overrightarrow{a}+（1-λ）\overrightarrow]•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{[λ\overrightarrow{a}+（1-λ）\overrightarrow]•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$，
即$\frac{λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+（1-λ{(lán)）\overrightarrow}^{2}}{|\overrightarrow|}$=$\frac{{λ\overrightarrow{a}}^{2}+（1-λ）\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}$，
∴$\frac{λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4（1-λ）}{2}$=$\frac{9λ+（1-λ）\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{3}$，
即$\frac{λ}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+2-2λ=3λ+$\frac{1-λ}{3}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{2}=\frac{1-λ}{3}}\\{2-2λ=3λ}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{2}{5}$．
故答案為：$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，也考查了轉(zhuǎn)化與方程思想，是綜合性題目．