Question

（2007•嘉定區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=

|x+m-1|

x-2

，m＞0且f（1）=-1．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，m-1]上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）求實數(shù)k的取值范圍，使得關(guān)于x的方程f（x）=kx分別為：
①有且僅有一個實數(shù)解；
②有兩個不同的實數(shù)解；
③有三個不同的實數(shù)解．

Answer 1

分析：（1）將已知條件f（1）=-1，解得|m|=1，再結(jié)合m是正數(shù)，可得m=1；
（2）將（1）的結(jié)論代入得（-∞，m-1]=（-∞，0]根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，通過作差化簡整理，最后得到f（x₁）-f（x₂）＜0，說明函數(shù)在區(qū)間（-∞，m-1]上是個增函數(shù)；
（3）首先，方程f（x）=kx有一個解x=0，然后分x＞0和x＜0加以討論：當x＞0且x≠2時，方程轉(zhuǎn)化為

x

x-2

=kx，得到x=2+

1

k

，解不等式得k＜-

1

2

或k＞0；當x＜0時，則

-x

x-2

=kx，解得x=2-

1

k

，解不等式得0＜k＜

1

2

．最后綜合可得方程f（x）=kx解集的情況．

解答：解：（1）由f（1）=-1，得

|m|

-1

=-1，|m|=1，
∵m＞0，∴m=1． （4分）
（2）由（1），m=1，從而f(x)=

|x|

x-2

，只需研究f（x）在（-∞，0]上的單調(diào)性．
當x∈（-∞，0]時，f(x)=

-x

x-2

．
設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

-x1

x1-2

-

-x2

x2-2

=

2(x1-x2)

(x1-2)(x2-2)

，（6分）
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁-x₂＜0，x₁-2＜0，x₂-2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)遞增函數(shù)． （10分）
（3）原方程即為

|x|

x-2

=kx…①
x=0恒為方程①的一個解． （11分）
若x＜0時方程①有解，則

-x

x-2

=kx，解得x=2-

1

k

，
由2-

1

k

＜0，得 0＜k＜

1

2

； （13分）
若x＞0且x≠2時方程①有解，則

x

x-2

=kx，解得x=2+

1

k

，
由2+

1

k

＞0且2+

1

k

≠2，得k＜-

1

2

或k＞0． （15分）
綜上可得，當k∈[-

1

2

，0]時，方程f（x）=kx有且僅有一個解；
當k∈(-∞，-

1

2

)∪[

1

2

，+∞)時，方程f（x）=kx有兩個不同解；
當k∈(0，

1

2

)時，方程f（x）=kx有三個不同解．   （18分）

點評：本題以含有絕對值的分式函數(shù)的形式為例，考查了函數(shù)零點的分布與單調(diào)性等知識點，屬于難題．