Question

【題目】已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，虛軸長(zhǎng)為4，且與雙曲線有相同漸近線.

（1）求雙曲線的方程.

（2）過點(diǎn)的直線與雙曲線的異支相交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）根據(jù)有相同的漸近線可設(shè)所求雙曲線為，再利用焦點(diǎn)位置及虛軸長(zhǎng)即可求出雙曲線方程（2）根據(jù)題意知直線不能為x軸，設(shè)直線方程為，聯(lián)立雙曲線方程，根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系及三角形面積公式可求出m,寫出直線方程即可.

（1）與雙曲線有相同漸近線，

設(shè)所求雙曲線為，

即，

焦點(diǎn)在軸上，虛軸長(zhǎng)為4，

，解得，

故雙曲線的方程為

（2）由題意知直線斜率不為0，

設(shè)直線方程為，

聯(lián)立,

消元得：，

直線與雙曲線的異支相交于兩點(diǎn)，

，

設(shè)，

則，

且，即，

，

，

，

，

,

化簡(jiǎn)得：，

，

令,

則，

得：或，

由，即知，不符合題意，

，即

解得：，

此時(shí)滿足，,

故所求直線方程為或.