平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離等于它到直線(xiàn)x=-1的距離,記點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)Γ.
(Ⅰ)求曲線(xiàn)Γ的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)A,B,C是Γ上的不同三點(diǎn),且滿(mǎn)足數(shù)學(xué)公式.證明:△ABC不可能為直角三角形.

(Ⅰ)解:由條件可知,點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與到直線(xiàn)x=-1的距離相等,
所以點(diǎn)P的軌跡是以F(1,0)為焦點(diǎn),x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn),其方程為y2=4x.…(4分)
(Ⅱ)解法一:假設(shè)△ABC是直角三角形,不失一般性,設(shè)∠A=90°,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
則由,,
可得(x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)=0.…(6分)
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/207711.png' />(i=1,2,3),y1≠y2,y1≠y3,
所以(y1+y2)(y1+y3)+16=0.…(8分)
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/47663.png' />,所以x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0,
所以y2y3=-16. ①
,
所以,即. ②…(10分)
由①,②得,所以. ③
因?yàn)椤?(-22)2-4×256=-540<0.
所以方程③無(wú)解,從而△ABC不可能是直角三角形.…(12分)
解法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由,
得x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0.…(6分)
由條件的對(duì)稱(chēng)性,欲證△ABC不是直角三角形,只需證明∠A≠90°.
(1)當(dāng)AB⊥x軸時(shí),x1=x2,y1=-y2,從而x3=3-2x1,y3=0,即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3-2x1,0).
由于點(diǎn)C在y2=4x上,所以3-2x1=0,即,
此時(shí),,C(0,0),則∠A≠90°.…(8分)
(2)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線(xiàn)AB的方程為:x=ty+m(t≠0),代入y2=4x,
整理得:y2-4ty-4m=0,則y1+y2=4t.
若∠A=90°,則直線(xiàn)AC的斜率為-t,同理可得:
由y1+y2+y3=0,得,y3=-4t.
由x1+x2+x3=3,可得
從而+(-4t)2=12,
整理得:,即8t4-11t2+8=0,①
△=(-11)2-4×8×8=-135<0,所以方程①無(wú)解,從而∠A≠90°.…(11分)
綜合(1),(2),△ABC不可能是直角三角形.…(12分)
分析:(Ⅰ)由條件可知,點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與到直線(xiàn)x=-1的距離相等,從而可求曲線(xiàn)Γ的方程;
(Ⅱ)解法一:利用反證法,假設(shè)△ABC是直角三角形,不失一般性,設(shè)∠A=90°,利用,及,可建立方程,利用方程的判別式,即可得出結(jié)論;
解法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由,得x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0,由條件的對(duì)稱(chēng)性,欲證△ABC不是直角三角形,只需證明∠A≠90°,分類(lèi)討論,斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)AB的方程為:x=ty+m(t≠0),代入y2=4x,再假設(shè)∠A=90°,建立方程,利用方程的判別式,即可得出結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求曲線(xiàn)Γ的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)A,B,C是Γ上的不同三點(diǎn),且滿(mǎn)足
FA
+
FB
+
FC
=0
.證明:△ABC不可能為直角三角形.

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(Ⅰ)求曲線(xiàn)Γ的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)A,B,C是Γ上的不同三點(diǎn),且滿(mǎn)足
FA
+
FB
+
FC
=0
.證明:△ABC不可能為直角三角形.

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