Question

已知：

a

=（2cosx，sinx），

b

=（

3

cosx，2cosx），設函數f（x）=

a

•

b

-

3

（x∈R）
求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的最大值以及取得最大值時x的值；
（3）f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）首先，化簡函數解析式：f（x）=2sin（2x+

π

3

），然后，利用周期公式進行求解；
（2）直接根據正弦函數的最值進行求解；
（3）直接根據正弦函數的單調性進行求解即可；

解答： 解：∵

a

=（2cosx，sinx），

b

=（

3

cosx，2cosx），
∴函數f（x）=

a

•

b

-

3

（x∈R）
=2

3

cos²x+2sinxcosx-

3

=sin2x+

3

（2cos²x-1）
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
（1）∵T=

2π

2

=π，
∴f（x）的最小正周期π；
（2）∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴當sin（2x+

π

3

）=1時，函數有最大值2，
此時，2x+

π

3

=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴x=

π

12

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的最大值為2，取得最大值時x值為x=

π

12

+kπ，k∈Z，
（3）∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，（k∈Z）．

點評：本題綜合考查了二倍角公式、三角恒等變換公式、三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．