Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的最大值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）max＝9﹣4e-2.

（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）a＝1時(shí)，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，可得f′（x）＝（x﹣1）（ex+2），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值．

（Ⅱ）令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，則a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex，討論f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)y＝a（x﹣1）2與函數(shù)g（x）＝（2﹣x）ex的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．畫出函數(shù)g（x）＝（2﹣x）ex的圖象大致如圖．對(duì)a分類討論即可得出a＞0時(shí)，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)a分類討論研究f(x)的圖象的變化趨勢(shì)得出結(jié)論.

（Ⅰ）a＝1時(shí)，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，

可得f′（x）＝2（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2），

由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，

即有f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增，

所以f（x）在[﹣2，1]單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，

所以f（x）min＝f（1）＝﹣e，又f（﹣2）＝9﹣4e-2＞f（2）＝1

所以f（x）max＝9﹣4e-2.

（Ⅱ）討論f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，則a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex,轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)y＝a（x﹣1）2與g（x）＝（2﹣x）ex的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由g（x）＝（2﹣x）ex，可得g′（x）＝（1﹣x）ex．由單調(diào)性可得：g（x）圖象大致如右圖：

所以當(dāng)a=0時(shí)，y＝a（x﹣1）2=0與g（x）＝（2﹣x）ex圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

a＞0時(shí)，y＝a（x﹣1）2與函數(shù)g（x）＝（2﹣x）ex有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)a<0時(shí)，f′（x）＝2a（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2a），

當(dāng)a=-時(shí)，f′（x）恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）遞增，又f（1）=-e<0,

f（3）=-e3=-e3>0，此時(shí)f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a-時(shí)，f′（x）＝0的兩根為1，ln(-2a),

當(dāng)1<ln(-2a)時(shí)，f（x）在（﹣∞，1）遞增；在（1，ln(-2a)）上遞減，在（ln(-2a)，+∞）遞增，又f（1）=-e<0,又存在=,使+(a-2)x-a=0,+(a-2)x-a]x=0,而+(a-2)x-a]x=ax(x-1)+(x-2)<a（x﹣1）2+（x﹣2）ex= f（x）,所以f（）>0,

此時(shí)f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)1>ln(-2a)時(shí)，f（x）在（﹣∞， ln(-2a)）遞增；在（ln(-2a),1）上遞減，在（1，+∞）遞增，又f(ln(-2a))= a[(ln(-2a)﹣1]2-2a[(ln(-2a)﹣2]=a[-4(ln(-2a)+5]<0,

又f（1）=-e<0,同樣有f（）>0,

所以此時(shí)f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個(gè)零點(diǎn).

綜上當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有兩個(gè)零點(diǎn)

a≤0時(shí)，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個(gè)零點(diǎn).