Question

已知x＞0，y＞0，a=x+y，b=

x2+xy+y2

，c=m

xy

，對任意正數(shù)x，y，a，b，c始終可以是一個(gè)三角形的三條邊，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由于a²-b²=(x+y)2-(

x2+xy+y2

)2=xy＞0，可得a＞b＞0；由于對任意正數(shù)x，y，a，b，c始終可以是一個(gè)三角形的三條邊，可得b+c＞a或a+b＞c，分別利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵a²-b²=(x+y)2-(

x2+xy+y2

)2=xy＞0，
∴a＞b＞0；
∵對任意正數(shù)x，y，a，b，c始終可以是一個(gè)三角形的三條邊，
∴b+c＞a或a+b＞c，
∵b+c=

x2+xy+y2

+m

xy

≥

3xy

+m

xy

=(

3

+m)

xy

＞a=x+y≥2

xy

，
∴

3

+m＞2，可得m＞2-

3

．
∵a+b=x+y+

x2+xy+y2

≥2

xy

+

3xy

=（2+

3

）

xy

＞c=m

xy

，
∴m＜2+

3

．
綜上可得：實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2-

3

，2+

3

)．
故答案為：(2-

3

，2+

3

)．

點(diǎn)評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、組成三角形三邊的大小關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．