Question

設(shè)函數(shù)，其中．證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值．

 

Answer 1

【答案】

當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，

若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為．

若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為．

【解析】

試題分析：證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051213012753739107/SYS201305121302348655777197_DA.files/image007.png">，所以的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051213012753739107/SYS201305121302348655777197_DA.files/image008.png">．

．

當(dāng)時(shí)，如果在上單調(diào)遞增；

如果在上單調(diào)遞減．

所以當(dāng)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，

令，得（舍去），，

當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：

		0
		極小值

從上表可看出，

函數(shù)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為．

當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：

		0
		極大值

從上表可看出，

函數(shù)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，

若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為．

若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為．

考點(diǎn)：函數(shù)的極值

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是能對于含有參數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號進(jìn)行分類討論，得到結(jié)論，屬于中檔題。