Question

在研究并行計(jì)算的基本算法時(shí)，有以下簡(jiǎn)單模型問(wèn)題：
用計(jì)算機(jī)求n個(gè)不同的數(shù)v₁，v₂，…，v_n的和

n

i=1

vi=v1+v2+v3+…+vn．計(jì)算開(kāi)始前，n個(gè)數(shù)存貯在n臺(tái)由網(wǎng)絡(luò)連接的計(jì)算機(jī)中，每臺(tái)機(jī)器存一個(gè)數(shù)，計(jì)算開(kāi)始后，在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，每臺(tái)機(jī)器至多到一臺(tái)其他機(jī)器中讀數(shù)據(jù)，并與自己原有數(shù)據(jù)相加得到新的數(shù)據(jù)，各臺(tái)機(jī)器可同時(shí)完成上述工作．為了用盡可能少的單位時(shí)間，使各臺(tái)機(jī)器都得到這n個(gè)數(shù)的和，需要設(shè)計(jì)一種讀和加的方法．比如n=2時(shí)，一個(gè)單位時(shí)間即可完成計(jì)算，方法可用下表表示：

機(jī)器號(hào)	初始時(shí)	第一單位時(shí)間		第二單位時(shí)間		第三單位時(shí)間
		被讀機(jī)號(hào)	結(jié)  果	被讀機(jī)號(hào)	結(jié)  果	被讀機(jī)號(hào)	結(jié)  果
1	v1	2	v1+v2
2	v2	1	v2+v1

（Ⅰ）當(dāng)n=4時(shí)，至少需要多少個(gè)單位時(shí)間可完成計(jì)算？把你設(shè)計(jì)的方法填入下表

機(jī)器號(hào)	初始時(shí)	第一單位時(shí)間		第二單位時(shí)間		第三單位時(shí)間
		被讀機(jī)號(hào)	結(jié)  果	被讀機(jī)號(hào)	結(jié)  果	被讀機(jī)號(hào)	結(jié)  果
1	v1
2	v2
3	v3
4	v4

（Ⅱ）當(dāng)n=128時(shí)，要使所有機(jī)器都得到

n

i=1

vi，至少需要多少個(gè)單位時(shí)間可完成計(jì)算？（結(jié)論不要求證明）

Answer 1

分析：（1）由題意可知，第一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)可以完成兩個(gè)數(shù)的和，并儲(chǔ)存在每一個(gè)機(jī)器中；那么第二個(gè)單位時(shí)間內(nèi)可以完成上一步兩個(gè)數(shù)的和，即四個(gè)數(shù)的和，并儲(chǔ)存在每一個(gè)機(jī)器中；由此可得當(dāng)n=4時(shí)，至少需要多少個(gè)單位時(shí)間可完成計(jì)算；
（2）因n=2時(shí)，一個(gè)單位時(shí)間即可完成計(jì)算，n=4時(shí)，二個(gè)單位時(shí)間即可完成計(jì)算，依此類推，當(dāng)n=128=2⁷時(shí)，至少需要7個(gè)單位時(shí)間才能完成計(jì)算．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=4時(shí)，只用2個(gè)單位時(shí)間即可完成計(jì)算．方法之一如下：

機(jī)器號(hào)	初始時(shí)	第一單位時(shí)間		第二單位時(shí)間		第三單位時(shí)間
		被讀機(jī)號(hào)	結(jié) 果	被讀機(jī)號(hào)	結(jié) 果	被讀機(jī)號(hào)	結(jié) 果
1	v1	2	v1+v2	3	v1+v2+v3+v4
2	v2	1	v2+v1	4	v2+v1+v4+v3
3	v3	4	v3+v4	1	v3+v4+v1+v2
4	v4	3	v4+v3	2	v4+v3+v2+v1

（Ⅱ）當(dāng)n=128=2⁷時(shí)，至少需要7個(gè)單位時(shí)間才能完成計(jì)算．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，分析和解決科學(xué)問(wèn)題的能力．