Question

18．已知min{{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}a，a≤b\\ b，a＞b\end{array}\right.$f（x）=min{|x|，|x+t|}，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{1}{2}$對稱；若“?x∈[1，+∞），e^x＞2mex”是真命題（這里e是自然對數(shù)的底數(shù)），則當(dāng)實(shí)數(shù)m＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-m零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4．

Answer 1

分析 根據(jù)對稱關(guān)系得出t=1，根據(jù)命題為真求出m的范圍，根據(jù)f（x）的函數(shù)圖象判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：∵f（x）的圖象關(guān)于x=-$\frac{1}{2}$對稱，且f（0）=0，
∴f（-1）=0，即|-1+t|=0，解得t=1．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，x≤-\frac{1}{2}}\\{|x|，x＞-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∵對?x∈[1，+∞），e^x＞2mex是真命題，∴m＜$\frac{{e}^{x}}{2ex}$恒成立，x∈[1，+∞）．
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{2ex}$，則h′（x）=$\frac{{e}^{x}•2ex-{e}^{x}•2e}{4{e}^{2}{x}^{2}}$=$\frac{2{e}^{x+1}（x-1）}{4{e}^{2}{x}^{2}}$≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h_min（x）=h（1）=$\frac{1}{2}$，
∴0＜m$＜\frac{1}{2}$．
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知y=f（x）與y=m有4個(gè)交點(diǎn)，
∴g（x）=f（x）-m有4個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)恒成立問題與函數(shù)最值計(jì)算，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．