Question

兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y．統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0．065．

（1）將y表示成x的函數(shù)；

（2）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)點(diǎn)到城的距離為時(shí).

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，直徑所對(duì)的圓周角為直角，進(jìn)而得到

，進(jìn)而得到關(guān)于的函數(shù)；（2）根據(jù)（1）得到的關(guān)于的函數(shù)，利用求導(dǎo)得到原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而求得其最小值.

試題解析：（1）如圖,由題意知

AC⊥BC,,

其中當(dāng)時(shí)，,所以

所以表示成的函數(shù)為.

（2）,,令得

,所以,即,當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)．所以當(dāng)時(shí), 即當(dāng)點(diǎn)到城的距離為時(shí), 函數(shù)有最小值.

考點(diǎn)：1.數(shù)學(xué)模型；2.利用導(dǎo)函數(shù)求最值.