Question

3．如圖，點O為圓柱形木塊底面的圓心，AD是底面圓的一條弦，優(yōu)弧$\widehat{AED}$的長為底面圓的周長的$\frac{3}{4}$．過AD和母線AB的平面將木塊剖開，得到截面ABCD，已知四邊形ABCD的周長為40．
（Ⅰ）設AD=x，求⊙O的半徑（用x表示）；
（Ⅱ）求這個圓柱形木塊剩下部分（如圖一）側(cè)面積的最大值．（剩下部分幾何體的側(cè)面積=圓柱側(cè)面余下部分的面積+四邊形ABCD的面積）

Answer 1

分析 （I）利用△AOD為等腰直角三角形，⊙O的半徑r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|AD|．
（Ⅱ）依題意得，四邊形ABCD為矩形，可得所求幾何體的側(cè)面積S=x（20-x）+$\frac{3}{4}×2π×\frac{\sqrt{2}}{2}$x（20-x），再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵優(yōu)弧AED的長為底面周長為$\frac{3}{4}$，
∴∠AOD=90°，
∴△AOD為等腰直角三角形，
∴⊙O的半徑$r=\frac{{\sqrt{2}}}{2}|AD|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$．
（Ⅱ）依題意得，四邊形ABCD為矩形，
∵四邊形ABCD的周長為40，
∴AB=20-AD=20-x，
∴所求幾何體的側(cè)面積S=x（20-x）+$\frac{3}{4}×2π×\frac{\sqrt{2}}{2}$x（20-x）
=$（1+\frac{{3\sqrt{2}}}{4}π）x（20-x）$
$\begin{array}{l}=（1+\frac{{3\sqrt{2}}}{4}π）[-{x^2}+20x]\\=（1+\frac{{3\sqrt{2}}}{4}π）[-{（x-10）^2}+100]\end{array}$
∴當x=10時，${S_{max}}=75\sqrt{3}π+100$．）
即這個圓柱形木塊剩下部分（如圖一）側(cè)面積的最大值為$75\sqrt{3}π+100$．

點評 本題考查了圓柱的側(cè)面積及其性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．