在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，左焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，△FMN面積的最大值為1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)P，A，B是橢圓E上異于頂點(diǎn)的三點(diǎn)，Q（m，n）是單位圓x2+y2=1上任一點(diǎn)，使
OP
=m
OA
+n
OB
．
①求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；
②求OA2+OB2的值．
（1）由橢圓的離心率為
2
2
，得
c
a
=
2
2
①，
又△FMN面積S=
1
2
×c×|yM-yN|=c|yM|≤cb，所以cb=1②，
由①②及a2=b2+c2可解得：a2=2，b2=c2=1，
故橢圓E的方程是
x2
2
+y2=1．
（2）①設(shè)P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
則
x21
2
+
y21
=1③，
x22
2
+
y22
=1④，
又m2+n2=1⑤，
因
OP
=m
OA
+n
OB
，故
x=mx1+nx2
y=my1+ny2.

因P在橢圓上，故
(mx1+nx2)2
2
+(my1+ny2)2=1．
整理得(
x21
2
+
y21
)m2+(
x22
2
+
y22
)n2+2(
x1x2
2
+y1y2)mn=1．
將③④⑤代入上式，并注意點(diǎn)Q（m，n）的任意性，得：
x1x2
2
+y1y2=0．
所以，kOAkOB=
y1y2
x1x2
=-
1
2
為定值．
②(y1y2)2=(-
x1x2
2
)2=
x21
2
•
x22
2
=(1-
y21
)(1-
y22
)=1-(
y21
+
y22
)+
y21
y22
，
故
y21
+
y22
=1．
又(
x21
2
+
y21
)+(
x22
2
+
y22
)=2，故
x21
+
x22
=2．所以O(shè)A2+OB2=
x21
+
y21
+
x22
+
y22
=3．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直．l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為（　　）
A．18B．24C．36D．48

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知直線l與橢圓C：
x2
3
+
y2
2
=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積S△OPQ=
6
2
，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）證明x12+x22和y12+y22均為定值；
（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求|OM|•|PQ|的最大值；
（Ⅲ）橢圓C上是否存在點(diǎn)D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
？若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上，點(diǎn)N在線段CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過(guò)定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2
2
的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O．橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）試探求C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長(zhǎng)．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線
y2
2
-x2=1的焦點(diǎn)重合，過(guò)P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)所作直線中，被拋物線截得弦長(zhǎng)為8的直線有（　�。�
A．1條B．2條C．3條D．不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8．
（Ⅰ）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P，Q，l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S，T．求
|PQ|
|ST|
的最大值及取得最大值時(shí)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其中a2=4c，直線l：3x-2y=0與橢圓的交點(diǎn)在x軸上的射影恰為橢圓的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，試探究以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系．

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