Question

17．（1）用定義證明函數(shù)：f（x）=1-x在（-∞，+∞）為減函數(shù)．
（2）已知函數(shù)：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1（x＜1）}\\{\frac{2}{x}（x＞2）}\end{array}\right.$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用定義證明即可．
（2）根據(jù)分段函數(shù)的定義域范圍和單調(diào)性求解，可得f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=1-x，其定義域?yàn)椋?∞，+∞）
證明：設(shè)x₁＜x₂，
則：f（x₁）-f（x₂）=1-x₁--1+x₂
∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
故得f（x）=1-x在（-∞，+∞）為減函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1（x＜1）}\\{\frac{2}{x}（x＞2）}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=x-1，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）在（-∞，1）為減函數(shù)，∴f（x）值域?yàn)椋?∞，0）
當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=$\frac{2}{x}$，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）在（2，+∞）為減函數(shù)，∴f（x）值域?yàn)椋?，1）
綜上可得函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，0）∪（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了單調(diào)性的定義證明和分段函數(shù)的值域的求法．比較基礎(chǔ)．