Question

19．已知復數(shù)z=（a-1）+i，（a∈R）是純虛數(shù)，則復數(shù)$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$的模等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 解法一：復數(shù)z=（a-1）+i，（a∈R）是純虛數(shù)，可得a-1=0，解得a．利用復數(shù)的運算法則化簡復數(shù)$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$，再利用模的計算公式即可得出．
解法二：復數(shù)z=（a-1）+i，（a∈R）是純虛數(shù)，可得a-1=0，解得a．代入復數(shù)$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$，利用復數(shù)積的模的運算性質即可得出．

解答 解：解法一：復數(shù)z=（a-1）+i，（a∈R）是純虛數(shù)，∴a-1=0，解得a=1．
則復數(shù)$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$=$\frac{2+\sqrt{2}i}{1-i}$=$\frac{（2+\sqrt{2}i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}$=$\frac{2-\sqrt{2}+（2+\sqrt{2}）i}{2}$，
則復數(shù)|$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$|=$\sqrt{（\frac{2-\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{2+\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
解法二：復數(shù)z=（a-1）+i，（a∈R）是純虛數(shù)，∴a-1=0，解得a=1．
則復數(shù)$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$=$\frac{2+\sqrt{2}i}{1-i}$，
則復數(shù)|$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$|=$\frac{|2+\sqrt{2}i|}{|1-i|}$=$\frac{\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了復數(shù)的有關概念及其運算法則、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．