Question

設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)于正整數(shù)（），求證：“且”是“這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成立的充要條件；

（3）設(shè)數(shù)列滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，都有

，且集合中有且僅有3個(gè)元素，試求的取值范圍.

Answer 1

（1），（2）詳見解析，（3）

【解析】

試題分析：（1）求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，一般利用待定系數(shù)法求【解析】
由得，由得，即，，（2）充要條件證明需從兩方面證明：必要性：設(shè)這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，這需分三種情況討論并利用整數(shù)奇偶性進(jìn)行說(shuō)明；其中由可得 . 充分性：設(shè)，，只需驗(yàn)證即，調(diào)整順序后易知成等差數(shù)列，（3）利用和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系先求出數(shù)列通項(xiàng)公式，從而，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求研究單調(diào)性，進(jìn)而確定其值域變化趨勢(shì)：，而時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以由，，，，可得.

試題解析：（1）數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，

又，，，； 4分

（2）（ⅰ）必要性：設(shè)這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，

①若，則，，，

. 6分

②若，則，，左邊為偶數(shù)，等式不成立，

③若，同理也不成立，

綜合①②③，得，所以必要性成立. 8分

（ⅱ）充分性：設(shè)，，

則這三項(xiàng)為，即，調(diào)整順序后易知成等差數(shù)列，

所以充分性也成立.

綜合（�。�（ⅱ），原命題成立. 10分

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040906031242853718/SYS201504090603177255113661_DA/SYS201504090603177255113661_DA.049.png">，

即，（*）

當(dāng)時(shí)，，（**）

則（**）式兩邊同乘以2，得，（***）

（*）－（***），得，即，

又當(dāng)時(shí)，，即，適合，. 14分

，，

時(shí)，，即；

時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，

又，，，，. 16分

考點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式，等差數(shù)列，由和項(xiàng)求通項(xiàng)