Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{A}{2}-\frac{A}{2}$cos2（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象過點（1，2），相鄰兩條對稱軸間的距離為2，且f（x）的最大值為2．
（1）求φ；
（2）計算f（1）+f（2）+…+f（2016）；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-m-1在區(qū)間[1，4]上恰有一個零點，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意求得A和ω，結(jié)合f（1）=2求得φ；
（2）利用函數(shù)的周期性求得f（1）+f（2）+…+f（2016）；
（3）把函數(shù)g（x）=f（x）-m-1在區(qū)間[1，4]上恰有一個零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=m與$y=sin\frac{π}{2}x$圖象在區(qū)間[1，4]有一個交點，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：（1）由題意，得A=2，T=4，∴$ω=\frac{π}{4}$，
∴$f（1）=1-cos2（\frac{π}{4}+φ）=2$∴$φ=\frac{π}{4}+kπ，k∈Z$，
又$0＜φ＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{4}$；
（2）由（1）知$f（1）=1-cos（\frac{π}{2}x+\frac{π}{2}）=1+sin\frac{π}{2}x$，周期T=4，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=$4+sin\frac{π}{2}+sin\frac{2π}{2}+sin\frac{3π}{2}+sin\frac{4π}{2}=4$．
∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=2016；
（3）∵$g（x）=f（x）=m-1=sin\frac{π}{2}x-m$在區(qū)間[1，4]上恰有一個零點，
∴方程$m=sin\frac{π}{2}x$在區(qū)間[1，4]上恰有一個根，
∴函數(shù)y=m與$y=sin\frac{π}{2}x$圖象在區(qū)間[1，4]有一個交點．
由圖可知0＜m≤1或m=-1．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．