Question

已知在邊長為1的正方形ABCD的一邊上取一點E，使AE=

1

4

AD，過AB的中點F作HF⊥EC于H．
（1）求證：FH=FA；
（2）求EH：HC的值．

Answer 1

考點：平行線分線段成比例定理

專題：立體幾何

分析：如圖所示．建立直角坐標(biāo)系．可得A（0，0），C（1，1），E(0，

1

4

)，F(xiàn)(

1

2

，0)．利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得直線FH的斜率，再利用點斜式分別得到直線CE、FH的方程，即可得到點H的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式即可得出答案．

解答： 解：如圖所示．
建立直角坐標(biāo)系．
則A（0，0），C（1，1），E(0，

1

4

)，F(xiàn)(

1

2

，0)．
直線CE：y=

1- 1 4

1-0

x+

1

4

，化為y=

3

4

x+

1

4

．
∵FH⊥CE，∴kFH=-

4

3

．
∴直線FH：y=-

4

3

(x-

1

2

)，即y=-

4

3

x+

2

3

．
聯(lián)立

y= 3 4 x+ 1 4 y=- 4 3 x+ 2 3

，
解得

x= 1 5 y= 2 5

，即H(

1

5

，

2

5

)．
∴|FH|=

( 1 2 - 1 5 )2+( 2 5 )2

=

1

2

，
∵|AF|=

1

2

，
∴|FH|=|AF|．
又∵|EH|=

( 1 5 )2+( 1 4 - 2 5 )2

=

1

4

，|CH|=

(1- 1 5 )2+(1- 2 5 )2

=1．
∴EH：HC=1：4．

點評：本題考查了通過建立直角坐標(biāo)系證明幾何問題、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點斜式、兩點間的距離公式，屬于中檔題．