Question

5．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=1，a_n+1-a_n=a_k（k∈{1，2，…，n}）
（Ⅰ）求證：a_n+1-a_n≥1；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：$\frac{1}{2}$n（n+1）≤S_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

分析 （I）利用數(shù)列的單調(diào)性即可證明；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得數(shù)列{a_n}的最大值及最小值，利用“累加求和”與不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵a_n+1-a_n=a_k＞0（k∈{1，2，…，n}），
∴數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，即1＜a₂＜a₃＜…＜a_n．
又∵a_k+1-a_k=a_k≥1（k∈{1，2，…，n}），
∴a_k+1-a_k≥1（k=1，2，3，…，n-1）．
（Ⅱ）證明：∵當(dāng)n=1時(shí)，2=a₂=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=a_n時(shí)，取最大值，即a_n+1=2a_n時(shí)，
由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知：a_n=2^n-1時(shí)，
當(dāng)a_n+1-a_n=a₁時(shí)取最小值，即a_n+1-a_n=1，
由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知：a_n=n，
∴1=a₁=1，2=a₂=2，3≤a₃≤2²，4≤a₄≤2³，…n≤a_n≤2^n-1，
由上面n個(gè)式子相加，得到：1+2+3+…+n≤a₁+a₂+a₃+…+a_n≤1+2+2²+2³+…+2^n-1，
$\frac{n（n+1）}{2}$≤S_n≤$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$，
∴$\frac{1}{2}$n（n+1）≤S_n≤2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用、“累加求和”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．