Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x-8，g（x）=2x²-4x-16，
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若對(duì)一切x＞5，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）g（x）=2x²-4x-16＜0，
∴（2x+4）（x-4）＜0，
∴-2＜x＜4，
∴不等式g（x）＜0的解集為{x|-2＜x＜4}．
（2）∵f（x）=x²-2x-8．
當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，
∴x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，
即x²-4x+7≥m（x-1）．
∴對(duì)一切x＞2，均有不等式成立．
而（當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立）．
∵x＞5，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，2]．
分析：（1）由g（x）=2x²-4x-16＜0，知（2x+4）（x-4）＜0，由此能求出不等式g（x）＜0的解集．
（2）由f（x）=x²-2x-8．當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，所以x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．