Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2時(shí)取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，3]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值點(diǎn)，列出方程組即可求出a，b的值；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解極值以及端點(diǎn)值，即可得到函數(shù)的最值．

解答 解：（1）f′（x）=6x²+6ax+3b，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=1 及x=2 取得極值，
則有f′（1）=0，f′（2）=0．
即 $\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$
解得a=-3，b=4．….4分
（2）由（1）可知f（x）=2x³-9x²+12x+8c，
f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，f′（x）＞0…6分
則當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）的最大值為f（3）=9+8c…8分
最小值為f（0）=8c，最大值為f（3）=8c…10分

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．