Question

如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱CC₁，C₁D₁，AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線(xiàn)AC與FG所成角的大�。�
（Ⅱ）求證：AC∥平面EFG．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AD₁，CD₁，證明∠D₁AC為異面直線(xiàn)AC與FG所成角，即可求出異面直線(xiàn)AC與FG所成角的大小；
（Ⅱ）證明平面EFG∥平面AD₁C，即可證明AC∥平面EFG．

解答： （Ⅰ）解：連接AD₁，CD₁，則
∵F，G分別為棱C₁D₁，AB的中點(diǎn)，
∴四邊形FGAD₁是平行四邊形，
∴FG∥AD₁，
∴∠D₁AC為異面直線(xiàn)AC與FG所成角，
∵△AD₁C是等邊三角形，
∴∠D₁AC=

π

3

，
∴異面直線(xiàn)AC與FG所成角為

π

3

；
（Ⅱ）證明：∵E，F(xiàn)分別為棱CC₁，C₁D₁的中點(diǎn)，
∴EF∥CD₁．
∴EF∥平面AD₁C，
同理FG∥平面AD₁C，
∵EF∩FG=F，
∴平面EFG∥平面AD₁C
∵AC?平面AD₁C，
∴AC∥平面EFG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線(xiàn)及其所成的角，考查線(xiàn)面平行，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．