Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的最小值；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)，，使得成立，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)的最小值為，當(dāng)時(shí)的最小值為,當(dāng)時(shí)，最小值為.（2）

【解析】試題分析：（1）本問(wèn)考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，，令得，對(duì)分類(lèi)討論，當(dāng)，，時(shí)，分別討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值；（2）本問(wèn)主要考查“任意”、“存在”問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，對(duì)，，使得成立”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”.即由（1）問(wèn)易得到函數(shù)的最小值，然后通過(guò)對(duì)的討論求即可.

試題解析：(I)，令得.

當(dāng)即時(shí)，在上，遞增，的最小值為

.

當(dāng)即時(shí)，在上，為減函數(shù)，在上，為增函數(shù). ∴的最小值為.

當(dāng)即時(shí)，在上，遞減，的最小值為

.

綜上所述，當(dāng)時(shí)的最小值為，當(dāng)時(shí)的最小值為,當(dāng)時(shí)，最小值為.

(II)令

由題可知“對(duì)，，使得成立”

等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”.

即

由(I)可知，當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，

①當(dāng)時(shí)，

由得，與矛盾，舍去.

②當(dāng)時(shí)，

由得，與矛盾，舍去.

③當(dāng)時(shí)，

由得

綜上，的取值范圍是.