Question

設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，點(diǎn)P（x₁，y₁）、Q（x₂，-y₁）是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。
（1）求直線A₁P與A₂Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由A₁、A₂分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)知



兩式相乘得

∵點(diǎn)P（x₁，y₁）在雙曲線上
∴
即
∴
∴
即直線A₁P與A₂Q交點(diǎn)的軌跡E的方程為。
（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且，又設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m
由
消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
則Δ=16k²m²-4（1+2k² ）（2m²-2）=8（2k²-m²+1）>0，
即2k²-m²+1>0
設(shè)A（x₁'，y₁'），B（x₂，y₂）
則
∴ y₁'y₂=k²x₁'x₂+km（x₁′+x₂）+m²=

要使
需使x₁′x₂+y₁′y₂=0
即
∴
又2k²-m²+1>0，解得或
∵直線y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線
∴圓的半徑為


所求的圓為
此時(shí)圓的切線y=kx+m都滿足或
而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為
與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足
綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且。