分析 (1)由題意 y=f(x) 對任意的x,y∈R,關(guān)系式成立,采用賦值法,可得f(0)的值;
(2)利用定義證明其單調(diào)性.
(3)利用單調(diào)性及f(0)的值,求解不等式即可.
解答 解:由題意:函數(shù) y=f(x)定義在R上 對任意的x,y∈R滿足條件:f(x+y)=f(x)+f(y)-2,
∴令x=y0,
由f(x+y)=f(x)+f(y)-2,
可得:f(0)=f(0)+f(0)-2,
解得:f(0)=2.
故f(0)的值為:2.
(2)證明:設(shè)x1<x2,x1、x2∈R,
則x2-x1>0,
由(1)可得f(x2-x1)>2.
因為對任意實數(shù)任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-2,
所以f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-2>f(x1)
所以函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù).
(3)解:由(1)(2)可知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù).且f(0)=2;
不等式f(2t2-t-3)-2<0,變形得f(2t2-t-3)<2,轉(zhuǎn)化為f(2t2-t-3)<f(0).
故得:2t2-t-3<0
解得:$-1<t<\frac{3}{2}$,
所以原不等式的解集是(-1,$\frac{3}{2}$).
點評 本題考查了抽象函數(shù)的運用能力和化簡,單調(diào)性的證明.屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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A. | $\frac{3}{2}$ | B. | 2 | C. | 4 | D. | 8 |
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