Question

(本題滿分12分) 
已知a∈R，函數(shù)f(x)＝4x³－2ax＋a.
（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當0≤x≤1時，f(x)＋|2－a|>0.

Answer 1

(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)見解析。

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)的導數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關系來判定求解其單調(diào)區(qū)間。
（2）要證明不等式恒成立問題，那么要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理即可或者構造函數(shù)求解函數(shù)的 最小值大于零得到。
解：
(1)由題意得f′(x)＝12x²－2a.
當a≤0時，f′(x)≥0恒成立，此時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞).
當a＞0 時，f′(x)＝12，此時
函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)由于0≤x≤1，故
當a≤2時，f(x)＋|a－2|＝4x³－2ax＋2≥4x³－4x＋2.
當a＞2時，f(x)＋|a－2|＝4x³＋2a(1－x)－2≥4x³＋4(1－x)－2＝4x³－4x＋2.
設g(x)＝2x³－2x＋1,0≤x≤1，則g′(x)＝6x²－2＝6，于是

x	0
		-	0	+
	1	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)	1

所以g(x)_min＝g＝1－＞0.
所以當0≤x≤1時，2x³－2x＋1＞0.
故f(x)＋|a－2|≥4x³－4x＋2＞0.
點評：對于含有參數(shù)的二次不等式問題的求解是解決導數(shù)中常見的非常重要的，注意對于開口和判別式的情況進行分類討論得到結(jié)論。