4.如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,若$\overrightarrow{AB}$=m$\overrightarrow{AM}$,$\overrightarrow{AC}$=n$\overrightarrow{AN}$ (m,n>0),則m2+n的范圍為[$\frac{7}{4}$,4).

分析 用$\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}$表示出$\overrightarrow{AO}$,根據(jù)M,O,N三點(diǎn)共線得出m,n的關(guān)系,從而得出m2+n關(guān)于m的二次函數(shù),求出m的范圍,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出范圍.

解答 解:∵O是BC的中點(diǎn),∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=$\frac{m}{2}\overrightarrow{AM}+\frac{n}{2}\overrightarrow{AN}$,
∵M(jìn),O,N三點(diǎn)共線,
∴$\frac{m}{2}+\frac{n}{2}=1$,即n=2-m.
∴m2+n=m2-m+2=(m-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{7}{4}$,
∵m>0,n>0,即$\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{2-m>0}\end{array}\right.$,
∴0<m<2.
令f(m)=(m-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{7}{4}$,
∴當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí),f(m)取得最小值$\frac{7}{4}$,
當(dāng)m=2時(shí),f(m)取得最大值4.
∴$\frac{7}{4}≤f(m)<4$.
故答案為:$[{\frac{7}{4},4})$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的基本定理,二次函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

3.如圖,在空間四邊形ABCD中,AB,BC,CD,DA的長(zhǎng)和兩條對(duì)角線AC,BD都相等,且E為AD的中點(diǎn),F(xiàn)為BC的中點(diǎn),則直線BE和平面ADF所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.已知函數(shù)f(x)=3sinωxcosωx-$\sqrt{3}$cos2ωx+2sin2(ωx-$\frac{π}{12}$)+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求f(x)的遞增區(qū)間.
(2)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=1,b=$\sqrt{2}$,f(A)=1,求∠C的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

12.已知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),(x-1)f′(x)-f(x)>0恒成立,若a=f(2),b=$\frac{1}{2}$f(3),c=$\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}f(\sqrt{2})$,則a,b,c的大小關(guān)系是( 。
A.c<a<bB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

19.已知f(x)=asin2x-$\frac{1}{3}$sin3x(a為常數(shù)),在x=$\frac{π}{3}$處取得極值,則a=(  )
A.$\frac{1}{2}$B.1C.$\frac{2}{3}$D.$-\frac{1}{2}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

9.設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.
(Ⅰ)若$\frac{f(0)}{|a|}$≥1,求a的取值范圍;
(Ⅱ)求f(x)的最小值;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x),x∈(a,+∞),請(qǐng)直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

16.已知圓x2+y2=16的圓心為P,點(diǎn)Q(a,b)在圓P外,以PQ為直徑作圓M與圓P相交于A,B兩點(diǎn).
(1)試確定直線QA,QB與圓P的位置關(guān)系,若QA=QB=3,寫出點(diǎn)Q所在曲線的方程;
(2)若a=4,b=6,求直線AB的方程.

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13.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)增區(qū)間是( 。
A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(1,4)D.(0,3)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

14.一青蛙從點(diǎn)A0(x0,y0)開始依次水平向右和豎直向上跳動(dòng),其落點(diǎn)坐標(biāo)依次是Ai(xi,yi)(i∈N*),(如圖,A0(x0,y0)的坐標(biāo)以已知條件為準(zhǔn)),Sn表示青蛙從點(diǎn)A0到點(diǎn)An所經(jīng)過(guò)的路程.
(1)點(diǎn)A0(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)準(zhǔn)線上一點(diǎn),點(diǎn)A1,A2均在該拋物線上,并且直線A1A2經(jīng)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn),證明S2=3p;
(2)若點(diǎn)An(xn,yn)(n∈N*)要么落在y=x所表示的曲線上,要么落在y=x2所表示的曲線上,并且A0($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$),試寫出$\lim_{n→+∞}$Sn(不需證明);
(3)若點(diǎn)An(xn,yn)要么落在y=${2^{\sqrt{1+8x}-1}}$所表示的曲線上,要么落在y=${2^{\sqrt{1+8x}+1}}$所表示的曲線上,并且A0(0,4),求S2011的值.

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