已知平面向量
a
=(
3
2
,-
1
2
)
b
=(
1
2
,
3
2
)
,若存在不為零的實數(shù)m,使得:
c
=
a
+2x
b
d
=-y
a
+(m-2x2)
b
,且
c
d
,
(1)試求函數(shù)y=f(x)的表達式;
(2)若m∈(0,+∞),當(dāng)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值為12時,求此時m的值.
分析:(1)根據(jù)所給的條件,寫出兩個向量的數(shù)量積為0,得到兩個向量垂直,又根據(jù)垂直得到數(shù)量積為0,整理最后一個關(guān)于向量數(shù)量積的等式,把y表示成x的函數(shù),得到結(jié)果.
(2)首先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系,判斷函數(shù)的單調(diào)性,單調(diào)區(qū)間是包含字母m的,要針對于m的取值寫出這種情況下的最大值,得到符合題意的m的值,把不合題意的數(shù)字舍去.
解答:解:(1)∵
a
b
=
3
2
×
1
2
-
1
2
×
3
2
=0
,∴
a
b
.∵
c
d

c
d
=0
,又知
a
2
=1,
b
2
=1

c
d
=-y+2x(m-2x2)=0.

∴y=2mx-4x3
故f(x)=2mx-4x3
(2)f(x)=2mx-4x3,則f'(x)=2m-12x2,其中m>0,
當(dāng)0≤x<
m
6
時,f'(x)>0,f(x)在[0,
m
6
]
上單調(diào)遞增;
當(dāng)x>
m
6
時,f'(x)<0,f(x)在(
m
6
,+∞)
上單調(diào)遞減,
①若
m
6
≥1
,即m≥6,則f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,此時f(x)
在區(qū)間[0,1]上的最大值f(x)max=f(1)=2m-4=12,解得m=8滿足條件.
②若
m
6
<1
,即0<m<6,則f(x)在[0,
m
6
]
上單調(diào)遞增,在(
m
6
,1)

上單調(diào)遞減,則f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值f(x)max=f(
m
6
)=2
m
6
•m-4(
m
6
)3=12
,
解得m3=486,m=3
318
>6
,不滿足0<m<6,舍去.
綜上所述,存在常數(shù)m=8,使函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值為12.
點評:本題考查向量的數(shù)量積.考查導(dǎo)函數(shù)在求最大值和最小值時的應(yīng)用,本題考查分類討論思想,是一個綜合題,結(jié)合向量,導(dǎo)數(shù),函數(shù)三方面的內(nèi)容,是一個易錯題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面向量
a
=(3,2),
b
=(x,4)
a
b
,則x的值為( 。
A、6
B、-6
C、-
8
3
D、
8
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面向量
a
=(3,1)
b
=(x,-3)
,且
a
b
,則實數(shù)x的值為( 。
A、-9B、9C、1D、-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•福建模擬)已知平面向量
a
=(3,1)
,
b
=(x
,-3),且
a
b
,則x=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面向量
a
=(3,1),
b
=(x,-3),
a
b
,則x
等于(  )
A、9B、1C、-1D、-9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面向量
a
=(
3
,-1)
,
b
=(
1
2
,
3
2
)
,
(1)證明:
a
b

(2)若存在不同時為零的實數(shù)k和g,使
x
=
a
+(g2-3)
b
y
=-k
a
+g
b
,且
x
y
,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(g);
(3)椐(2)的結(jié)論,討論關(guān)于g的方程f(g)-k=0的解的情況.

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