Question

【題目】在直三棱柱中，，，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，平面.

（1）求證：為中點(diǎn)；

（2）若與所成角為，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）.

【解析】

（1）連接交于，連接，則為中點(diǎn).，由平面，根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，可證，即可證明結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得出坐標(biāo)，進(jìn)而有坐標(biāo)，

由與所成角為，利用向量夾角公式求出，求出坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)線(xiàn)面角公式，即可求解.

（1）證明：連接交于，連接

∵，∴為正方形，∴為中點(diǎn).

又平面，平面平面，

平面，∴，又為中點(diǎn)，

∴為中點(diǎn).

（2）如圖，以為原點(diǎn)，以，，為

，，的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，

，，，.

∵與所成角為，

∴，

整理得或（舍去），

，∴，

∵為中點(diǎn)，∴，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，取，

得，，∴

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，

則，

故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為