Question

（本題滿分8分）

如圖甲，直角梯形中，，，點分別在上，

且，，，現(xiàn)將梯形沿折起，使平面與平面垂直（如圖乙）.

(Ⅰ)求證：平面；

（II）當的長為何值時，二面角的大小為？

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖建立空間直角坐標系N-xyz.

設，則A(2,0,t)，B(2，4，0)，

         又易知平面DNC的一個法向量為，

         由，得AB∥平面DNC.

                                                                          ………………………… 3分

（Ⅱ）設，則D(0,0,t)，C(0,2,0)，B(2,4,0)，故(0,-2,t)，(2,2,0)，

設平面DBC的一個法向量為，則

取，則，即，

又易知平面BCN的一個法向量為，      ………………………… 6分

，即，解得.     ……………… 8分

另解：（Ⅰ）∵MB∥NC，MB平面DNC，NC平面DNC，

∴MB∥平面DNC.      同理MA∥平面DNC，

又MA∩MB＝M且MA、MB平面MAB，

∴平面MAB∥平面NCD，    又AB平面MAB，

∴AB∥平面NCD.                              ………………………… 3分

（Ⅱ）過N作NH⊥BC交BC延長線于H，連結(jié)DH，   

     ∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN

∴DN⊥平面MNCB，從而DH⊥BC，

∴∠DHN為二面角D－BC－N的平面角.               ………………………… 5分

由已知得，，∴，，

∴.                        ………………………… 8分