分析 (1)由AB∥OP,得$\frac{^{2}}{ac}$=$\frac{a}$,可得a與c,b與c的關(guān)系,結(jié)合|AF|=a+c=($\sqrt{2}$+1)c=$\sqrt{2}$+1求得c,則a,b可求,橢圓E的方程可求;
(2)由題意設(shè)出CD所在直線方程,再設(shè)出C,D的坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與橢圓方程,求出C,D的橫坐標(biāo),把四邊形ACBD面積S化為C,D的橫坐標(biāo)的關(guān)系,進(jìn)一步化為CD的斜率的函數(shù),利用基本不等式求最值.
解答 解:(1)設(shè)焦距為2c,則P(-c,$\frac{b2}{a}$).
由AB∥OP,得$\frac{^{2}}{ac}$=$\frac{a}$,則b=c,a=$\sqrt{2}$c,
∴|AF|=a+c=($\sqrt{2}$+1)c,又|AF|=$\sqrt{2}$+1,
則c=1,b=1,a=$\sqrt{2}$,
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1;
(2)由題意可設(shè)CD:y=kx,設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),到AB的距離分別為d1,d2,
將y=kx代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1,得x2=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$,則x1=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$,x2=-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$.
由A($\sqrt{2}$,0),B(0,1)得|AB|=$\sqrt{3}$,且AB:x+$\sqrt{2}$y-$\sqrt{2}$=0,
d1=$\frac{{x}_{1}+\sqrt{2}{y}_{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$,d2=-$\frac{{x}_{2}+\sqrt{2}{y}_{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$,
S=$\frac{1}{2}$|AB|(d1+d2)=$\frac{1}{2}$[(x1-x2)+$\sqrt{2}$(y1-y2)]
=$\frac{1}{2}$(1+$\sqrt{2}$k)(x1-x2)=$\frac{\sqrt{2}+2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$,
S2=2(1+$\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$),因?yàn)?+2k2≥2$\sqrt{2}$k,當(dāng)且僅當(dāng)2k2=1時取等號,
∴當(dāng)k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時,四邊形ACBD的面積S取得最大值2.
點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{12}{13}$ | B. | $-\frac{12}{13}$ | C. | $-\frac{5}{13}$ | D. | $\frac{5}{13}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 10 | B. | 11 | C. | 12 | D. | 13 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | 1 | C. | 0 | D. | -1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {x|0<x<2} | B. | {x|0≤x<2} | C. | {x|0<x≤2} | D. | {x|0≤x≤2} |
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