2.參加成都七中數(shù)學選修課的同學,對某公司的一種產品銷量與價格進行了統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù)和散點圖:

定價x(元/kg)102030405060
年銷量y(kg)115064342426216586
z=2lny14.112.912.111.110.28.9
(參考數(shù)據(jù):$\sum_{i=1}^6{({x_i}-\overline x)}•({y_i}-\overline y)=-34580$,$\sum_{i=1}^6{({x_i}-\overline x)}•({z_i}-\overline z)=-175.5$$\sum_{i=1}^6{{{({y_i}-\overline y)}^2}}=776840$,$\sum_{i=1}^6{({y_i}-\overline y)}•({z_i}-\overline z)=3465.2$)
(1)根據(jù)散點圖判斷,y與x,z與x哪一對具有較強的線性相關性(給出判斷即可,不必說明理由)?
(2)根據(jù)(1)的判斷結果及數(shù)據(jù),建立y關于x的回歸方程(方程中的系數(shù)均保留兩位有效數(shù)字).
(3)定價為多少元/kg時,年利潤的預報值最大?
附:對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其回歸直線$\widehat{y}$=$\widehat$•x+$\widehat{a}$的斜率和截距的最小二乘估計分別為:
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})•({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n•\stackrel{-2}{x}}$,$\widehat{a}$=$\overline{y}$-n•$\widehat$•$\overline{x}$.

分析 (1)由散點圖可知:z與x具有較強的線性相關性;
(2)求得樣本中心點($\overline{x}$,$\overline{y}$),則$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{6}({x}_{1}-\overline{x})({z}_{i}-\overline{z})}{\sum_{i=1}^{6}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$=$\frac{-175.5}{1750}$≈-0.10,由$\widehat{a}$=$\overline{z}$-$\widehat$•$\overline{x}$=15.05≈15,即可求得線性回歸方程,則;
(3)年利潤L(x)=x•$\widehat{z}$=x•${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$,求導,令L′(x)=0,即可求得年利潤L(x)的最大值.

解答 解:(1)由散點圖可知:z與x具有較強的線性相關性;
(2)由$\overline{x}$=$\frac{10+20+30+40+50+60}{6}$=35,$\overline{z}$=$\frac{14.1+12.9+12.1+11.1+10.2+8.9}{6}$=11.55,
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{6}({x}_{1}-\overline{x})({z}_{i}-\overline{z})}{\sum_{i=1}^{6}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$=$\frac{-175.5}{1750}$≈-0.10,
由$\widehat{a}$=$\overline{z}$-$\widehat$•$\overline{x}$=15.05≈15,
$\widehat{z}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$=15-0.10x,
線性回歸方程為:$\widehat{z}$=15-0.10x,則y關于x的回歸方程$\widehat{y}$=${e}^{\frac{\overline{z}}{2}}$=${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$,
∴y關于x的回歸方程$\widehat{y}$=${e}^{\frac{\overline{z}}{2}}$=${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$;
(3)年利潤L(x)=x•$\widehat{y}$=x•${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$,
求導L′(x)=${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$•(1-x•$\frac{0.10}{2}$),
令導L′(x)=0,解得:x=20,
由函數(shù)的單調性可知:當x=20時,年利潤的預報值最大,
∴定價為20元/kg時,年利潤的預報值最大.

點評 本題考查線性回歸方程的應用,考查利用最小二乘法求線性回歸方程,考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調性及最值,考查計算能力,屬于中檔題.

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