Question

29、設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-m-x，其中m∈R．
（I）求函數(shù)f（x）的最值；
（II）給出定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，并且有f（a）•f（b）＜0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在x₀∈（a，b），使得f（x₀）=0．
運(yùn)用上述定理判斷，當(dāng)m＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m）內(nèi)是否存在零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來確定極值，連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極小值就是最小值；
（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，先分別求出x=m與x=2m的函數(shù)值，看函數(shù)值是否異號(hào)，如果異號(hào)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m）內(nèi)存在零點(diǎn)，否則不存在．

解答：解：（I）∵f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)，f′（x）=e^x-m-1，
令f′（x）=0，得x=m．（3分）當(dāng)x∈（-∞，m）時(shí)，
e^x-m＜1，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（m，+∞）時(shí)，e^x-m＞1，
f′（x）＞0；所以，當(dāng)x=m時(shí)，
f（x）取極小值也是最小值
∴f（x）_min=f（m）=1-m（*）
由（*）知f（x）無最大值；（6分）
（II）函數(shù)f（x）在[m，2m]上連續(xù)，
而f（2m）=e^m-2m，
令g（m）=e^m-2m．
則g′（m）=e^m-2
∵m＞1∴g′（m）＞e-2＞0
∴g（m）在（1，+∞）上遞增．（8分）
由g（1）=e-2＞0，
得g（m）＞g（1）＞0，
即f（2m）＞0，（10分）
又f（m）=1-m＜0，
∴f（m）•f（2m）＜0，
根據(jù)定理，可判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m）上存在零點(diǎn)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，屬于基礎(chǔ)題．