Question

若直線2ax-by+2=0始終平分圓

x=-1+2cosθ y=2+2sinθ

（0≤θ＜2π）的周長，則a•b的取值范圍是（　　）

• A．(-∞，

  1

  4

  ]
• B．(0，

  1

  4

  ]
• C．(0，

  1

  4

  )
• D．(-∞，

  1

  4

  )

Answer 1

分析：把圓的參數(shù)方程化為普通方程，找出圓心坐標(biāo)，根據(jù)直線始終平分圓的周長，得到直線過圓心，把圓心坐標(biāo)代入直線方程，得到a+b=1，然后討論a與b的正負(fù)，若a與b異號(hào)或a與b中有一個(gè)為0，則有a•b小于等于0；若a與b都大于0，根據(jù)基本不等式求出a•b的范圍，綜上，得到所有滿足題意的a•b的取值范圍．

解答：解：把圓的方程化為普通方程得：（x+1）²+（y-2）²=4，
∴圓心坐標(biāo)為（-1，2），
由題意可得直線過圓心，把圓心坐標(biāo)代入直線方程得：
-2a-2b+2=0，即a+b=1，
若a與b異號(hào)或a，b中有一個(gè)為0，則有a•b≤0；
若a＞0，b＞0，則有a+b≥2

a•b

，即a•b≤(

a+b

2

)2=

1

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，此時(shí)0＜a•b≤

1

4

，
綜上，a•b的取值范圍是（-∞，

1

4

]．
故選A

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及基本不等式的運(yùn)用，根據(jù)題意得到已知直線過圓心是本題的突破點(diǎn)．