Question

已知函數(shù)y=ax³-15x²+36x-24在x=3處有極值，則函數(shù)的遞減區(qū)間為（　　）

A．（-∞，1），（5，+∞）

B．（1，5）

C．（2，3）

D．（-∞，2），（3，+∞）

Answer 1

分析：根據(jù)導數(shù)的運算法則求得y'=3ax²-30x+36．由題意當x=3時y'=0，解得a=2，從而得到導函數(shù)y'=6x²-30x+36，再解關(guān)于x的不等式y(tǒng)'＜0，即可得到函數(shù)的遞減區(qū)間．

解答：解：對函數(shù)y=ax³-15x²+36x-24求導數(shù)，得y'=3ax²-30x+36
∵函數(shù)y=ax³-15x²+36x-24在x=3處有極值，
∴當x=3時，y'=27a-54=0，解之得a=2
由此可得函數(shù)解析式為y=2x³-15x²+36x-24，
得y'=6x²-30x+36，解不等式y(tǒng)'＜0，得2＜x＜3
∴函數(shù)的遞減區(qū)間為（2，3）
故選：C

點評：本題給出三次多項式函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．著重考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值求法等知識，屬于中檔題．