Question

已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)正六棱柱的體積最大（柱體體積=底面積高）時(shí)，其高的值為（   ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

B

本題在空間幾何體、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用交匯處命制，解題的關(guān)鍵是建立正六棱柱體積的函數(shù)關(guān)系式。考生如果對(duì)選修系列四的《不等式選講》較為熟悉的話(huà)，求函數(shù)的條件可以使用三個(gè)正數(shù)的均值不等式進(jìn)行，
即，等號(hào)成立的條件是，即。根據(jù)正六棱柱和球的對(duì)稱(chēng)性，球心必然是正六棱柱上下底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)，作出軸截面即可得到正六棱柱的底面邊長(zhǎng)、高和球的半徑的關(guān)系，在這個(gè)關(guān)系下求函數(shù)取得最值的條件即可求出所要求的量。
解：以正六棱柱的最大對(duì)角面作截面，如圖。設(shè)球心為，正六棱柱的上下底面中心分別為，則是的中點(diǎn)。設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則。正六棱柱的體積為，即，則，得極值點(diǎn)，不難知道這個(gè)極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)。故當(dāng)正六棱柱的體積最大，其高為。