設(shè)數(shù)列滿足為實(shí)數(shù)

（Ⅰ）證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是；

（Ⅱ）設(shè)，證明：;

（Ⅲ）設(shè)，證明：

（Ⅰ）必要性 ： ，

                 又  ，即

充分性 ：設(shè)  ，對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明

        當(dāng)時(shí)，.假設(shè)

        則，且

，由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有成立

    （Ⅱ） 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立

         當(dāng) 時(shí)，

         

          ,由（1）知，所以  且   

         

         

         

（Ⅲ）設(shè) ，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立

 當(dāng)時(shí)，由（2）知

 ．


解析:

（Ⅰ）必要性 ： ，

                 又  ，即

充分性 ：設(shè)  ，對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明

        當(dāng)時(shí)，.假設(shè)

        則，且

，由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有成立

    （Ⅱ） 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立

         當(dāng) 時(shí)，

         

          ,由（1）知，所以  且   

         

         

         

（Ⅲ）設(shè) ，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立

 當(dāng)時(shí)，由（2）知

 ．

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   （1）證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是；

   （2）設(shè)，證明：;

   （3）設(shè)，證明：．

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