Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{3}$ax+b（a、b為常數(shù)）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在（1，f（1））處相切，求g（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）+$\frac{a}{x}$（a＞1），若h（x）在[1，e]上的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)$f'（x）=\frac{1}{x}（x＞0）$，利用函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在（1，f（1））處相切，列出方程組求解即可．
（Ⅱ）化簡$h（x）=lnx+\frac{a}{x}（x＞0）$得，求出導(dǎo)函數(shù)，通過①若1＜a＜e，當(dāng)1＜x＜a時(shí)，當(dāng)a＜x＜e時(shí)，②若a≥e，求出函數(shù)的單調(diào)性與最值推出a的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$f'（x）=\frac{1}{x}（x＞0）$，…（1分）
函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在（1，f（1））處相切，
所以$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=\frac{1}{3}a\\ f（1）=g（1）\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}a=1\\ \frac{1}{3}a+b=0\end{array}\right.$，…（3分）
解得a=3，b=-1，…（5分）
故g（x）=x-1…（6分）
（Ⅱ）由$h（x）=lnx+\frac{a}{x}（x＞0）$得，${h^/}（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$．…（7分）
①若1＜a＜e，由h′（x）=0得x=a，
當(dāng)1＜x＜a時(shí)，h′（x）＜0，即h（x）在（1，a）上為減函數(shù)；
當(dāng)a＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，即h（x）在（a，e）上為增函數(shù)；
所以x=a是函數(shù)h（x）在[1，e]上的極小值點(diǎn)，也就是它的最小值點(diǎn)，
因此h（x）的最小值為h（a）=lna+1=2，
即a=e，這與1＜a＜e矛盾，故舍去…（9分）
②若a≥e，則h′（x）≤0在[1，e]上恒成立（僅當(dāng)a=e，x=e時(shí)h′（x）=0），
此時(shí)函數(shù)h（x）在[1，e]上為減函數(shù)，因此h（x）的最小值為$h（e）=1+\frac{a}{e}=2$，
即a=e．…（11分）
綜上所述，a=e…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查分類討論思想的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值的求法，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查發(fā)現(xiàn)問題的能力．