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18.已知橢圓C的中心在坐標原點,其一個焦點為(0,3),橢圓C上的任意一點到其兩個焦點的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線y=kx+1與橢圓C交于A、B兩點,當OA⊥OB時,求k的值.

分析 (1)利用橢圓的定義可得a,再利用c=3,a2=b2+c2即可得出.
(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為(k2+4)x2+2kx-3=0,由OA⊥OB得 OAOB=0,把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出.

解答 解:(1)依題意設(shè)橢圓C方程為:y2a2+x2b2=1ab0,
則由焦點為03得 c=3,∴a2-b2=3,
橢圓C上的任意一點到其兩個焦點的距離之和為2a=4,
∴a=2,
將a=2代入a2-b2=3得:b=1.
∴橢圓C的方程為:y24+x2=1
(2)聯(lián)立方程{y24+x2=1y=kx+1,化為(k2+4)x2+2kx-3=0,
設(shè)A、B兩點坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),
x1+x2=2kk2+4,x1x2=3k2+4,
y1y2=kx1+1kx2+1=k2x1x2+kx1+x2+1=44k2k2+4
由OA⊥OB得 OAOB=0,
∴x1x2+y1y2=0,即3k2+4+44k2k2+4=0,
解得k=±12

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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