已知,橢圓C以雙曲線數(shù)學公式的焦點為頂點,以雙曲線的頂點為焦點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點(M、N不是左右頂點),且以線段MN為直徑的圓過點A(2,0),求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

解:根據(jù)題意:雙曲線的焦點坐標為(-2,0),(2,0),頂點坐標為(-1,0),(1,0)
∵橢圓C以雙曲線的焦點為頂點,以雙曲線的頂點為焦點.
∴橢圓的頂點為(-2,0),(2,0),焦點坐標為2,(-1,0),(1,0)
∴a=2,b=3
∴橢圓的方程是:
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2) 聯(lián)立y=kx+m,
整理得:(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0
△=64m2k2-4(4k2+3)(4m2-12)>0
解得:m2<4k2+3 ①
由韋達定理:x1+x2=-8mk/(3+4k2).x1x2=(4m2-12)/(3+4k2
所以y1y2=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=(3m2-12k2)/(3+4k2
因為以MV為直徑的圓過橢圓C的右頂點A(2,0)
所以
∴7m2+16mk+4k2=0
解得:m1=-2k/7,m2=-2k
經(jīng)檢驗,當m=-2k/7或m=-2k時,①式均成立
而當m=-2k時,直線l:y=k(x-2),過右頂點,不合題意所以m=-2k/7,
∴直線l:y=k(x-2/7).過定點(2/7,0)
分析:(1)先由雙曲線求出相應的實半軸,虛半軸和半焦距,再利用橢圓和雙曲線的關系求解.
(2)由以線段MN為直徑的圓過點A(2,0),則線段MN對應的圓周角為直角,有,再由M,N是直線與橢圓的交點求解.
點評:本題主要考查圓錐曲線間的關系及性質的應用,同時考查直線與橢圓的位置關系在解決平面圖形中的應用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),其焦距為2c,若
c
a
=
5
-1
2
(≈0.618),則稱橢圓C為“黃金橢圓”.
(1)求證:在黃金橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)中,a、b、c成等比數(shù)列.
(2)黃金橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的右焦點為F2(c,0),P為橢圓C上的任意一點.是否存在過點F2、P的直線l,使l與y軸的交點R滿足
RP
=-3
PF2
?若存在,求直線l的斜率k;若不存在,請說明理由.
(3)在黃金橢圓中有真命題:已知黃金橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點分別是F1(-c,0)、F2(c,0),以A(-a,0)、B(a,0)、D(0,-b)、E(0,b)為頂點的菱形ADBE的內切圓過焦點F1、F2.試寫出“黃金雙曲線”的定義;對于上述命題,在黃金雙曲線中寫出相關的真命題,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知,橢圓C以雙曲線x2-
y23
=1
的焦點為頂點,以雙曲線的頂點為焦點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點(M、N不是左右頂點),且以線段MN為直徑的圓過點A(2,0),求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知,橢圓C以雙曲線x2-
y2
3
=1
的焦點為頂點,以雙曲線的頂點為焦點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點(M、N不是左右頂點),且以線段MN為直徑的圓過點A(2,0),求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源:2009-2010學年天津市武清區(qū)楊村四中高三(上)第三次月考數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知,橢圓C以雙曲線的焦點為頂點,以雙曲線的頂點為焦點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點(M、N不是左右頂點),且以線段MN為直徑的圓過點A(2,0),求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

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