Question

如圖，設(shè)拋物線方程為x²＝2py(p＞0)，M為直線y＝－2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B．

(Ⅰ)求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

(Ⅱ)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，－2p)時(shí)，求此時(shí)拋物線的方程；

(Ⅲ)是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在拋物線x²＝2py(p＞0)上，其中點(diǎn)C滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

標(biāo)準(zhǔn)答案： 　　(Ⅰ)證明：由題意設(shè)． 　　由得，則， 　　所以，． 　　因此直線的方程為， 　　直線的方程為． 　　所以，　　① 　　．　�、� 　　由①、②得， 　　因此，即． 　　所以三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列． 　　(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，當(dāng)時(shí)， 　　將其代入①、②并整理得： 　　， 　　， 　　所以是方程的兩根， 　　因此，， 　　又， 　　所以． 　　由弦長公式得． 　　又，所以或， 　　因此所求拋物線方程為或． 　　(Ⅲ)解：設(shè)，由題意得， 　　則的中點(diǎn)坐標(biāo)為， 　　設(shè)直線的方程為， 　　由點(diǎn)在直線上，并注意到點(diǎn)也在直線上， 　　代入得． 　　若在拋物線上，則， 　　因此或． 　　即或． 　　(1)當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)適合題意． 　　(2)當(dāng)，對于，此時(shí)，， 　　又，， 　　所以， 　　即，矛盾． 　　對于，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1517/0022/1adc1a5d09a5d73664b5de2622890e69/C/Image498.gif" width=108 height=50>，此時(shí)直線平行于軸， 　　又， 　　所以直線與直線不垂直，與題設(shè)矛盾， 　　所以時(shí)，不存在符合題意的點(diǎn)． 　　綜上所述，僅存在一點(diǎn)適合題意． 　　試題分析：(Ⅰ)設(shè)要“千方百計(jì)”求得； 　　(Ⅱ)利用弦長公式求的關(guān)于的關(guān)系式，從而解出，要注意有兩條拋物線； 　　(Ⅲ)這個(gè)條件富含很多“養(yǎng)分”，如，都是源于這一重要的條件，此外還要注意分類討論． 　　高考考點(diǎn)：直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

提示：

解析幾何問題有很強(qiáng)的程序性，題目的類型也相對集中，如弦長、中點(diǎn)弦、動(dòng)點(diǎn)軌跡、定點(diǎn)與定值、取值與最值、圓錐曲線與向量等問題，計(jì)算繁瑣但有序．只要掌握圓錐曲線的定義和性質(zhì)明確解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的思想方法，溝通知識(shí)間的橫縱聯(lián)系，借助方程與不等式以及向量工具，適當(dāng)選擇數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，很多相關(guān)問題就能迎難而解．