已知圓O：x2+y2=1，直線l:y=(x+4).

（1）設(shè)圓O與x軸的兩交點(diǎn)是F1,F2，若從F1發(fā)出的光線經(jīng)l上的點(diǎn)M反射后過(guò)點(diǎn)F2，求以F1,F2為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的橢圓方程.

（2）點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，從點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)l反射后與圓O相切.若光線從射出經(jīng)反射到相切經(jīng)過(guò)的路程最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:(1)如圖，由光學(xué)幾何知識(shí)可知，點(diǎn)F1關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F1′在過(guò)點(diǎn)A(-4,0)且傾斜角為60°的直線l′上.在△AF2F1′中，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=MF1+MF2=F1′F2=，

又橢圓的半焦距c=1，∴b2=a2-c2=.

∴所求橢圓的方程為=1.

(2)路程最短即為l′上的點(diǎn)P′到圓O的切線長(zhǎng)最短，由幾何知識(shí)可知，P′應(yīng)為過(guò)原點(diǎn)O且與l垂直的直線與l′的交點(diǎn)，這一點(diǎn)又與點(diǎn)P關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，∴AP=AP′=2.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0).


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為
2
2
的橢圓，其左焦點(diǎn)為F．若P是圓O上一點(diǎn)，連接PF，過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），求證：直線PQ與圓O相切；
（3）試探究：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知圓o：x2+y2=b2與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)有一個(gè)公共點(diǎn)A（0，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線AF被圓所截得的弦長(zhǎng)為1．
（1）求橢圓方程．
（2）圓o與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為C、D，B（ x0，y0）是橢圓上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段CD上是否存在點(diǎn)T（t，0），使|BT|=|AT|，若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓O：x2+y2=9，定點(diǎn) A（6，0），直線l：3x-4y-25=0
（1）若P為圓O上動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程
（2）設(shè)E、F分別是圓O和直線l上任意一點(diǎn)，求線段EF的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•廣州一模）已知圓O：x2+y2=r2，點(diǎn)P（a，b）（ab≠0）是圓O內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的圓O的最短弦所在的直線為l1，直線l2的方程為ax+by+r2=0，那么（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓O：x2+y2=1，點(diǎn)P在直線x=
3
上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓O上存在點(diǎn)Q，使∠OPQ=30°，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y0的取值范圍是（　　）

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