【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)M在橢圓C:上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足.
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上,且。證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.
【答案】(1)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2.(2)證明見解析。
【解析】
(1)設(shè)M(x0,y0),由題意可得N(x0,0),設(shè)P(x,y),運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合M滿足橢圓方程,化簡整理可得P的軌跡方程;
(2)設(shè)Q(﹣3,m),P(cosα,sinα),(0≤α<2π),運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,可得m,即有Q的坐標(biāo),求得橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo),求得OQ,PF的斜率,由兩直線垂直的條件:向量數(shù)量積為0,即可得證.
(1)設(shè)M(x0,y0),由題意可得N(x0,0),
設(shè)P(x,y),由點(diǎn)P滿足=.
可得(x﹣x0,y)=(0,y0),
可得x﹣x0=0,y=y0,
即有x0=x,y0=,
代入橢圓方程+y2=1,可得+=1,
即有點(diǎn)P的軌跡方程為圓x2+y2=2;
(2)證明:設(shè)Q(﹣3,m),P(cosα,sinα),(0≤α<2π),
=1,可得(cosα,sinα)(﹣3﹣cosα,m﹣sinα)=1,
即為﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1,
當(dāng)α=0時,上式不成立,則0<α<2π,
解得m=,
即有Q(﹣3,),
橢圓+y2=1的左焦點(diǎn)F(﹣1,0),
由=(﹣1﹣cosα,﹣sinα)(﹣3,)
=3+3cosα﹣3(1+cosα)=0.
可得過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.
另解:設(shè)Q(﹣3,t),P(m,n),由=1,
可得(m,n)(﹣3﹣m,t﹣n)=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1,
又P在圓x2+y2=2上,可得m2+n2=2,
即有nt=3+3m,
又橢圓的左焦點(diǎn)F(﹣1,0),
=(﹣1﹣m,﹣n)(﹣3,t)=3+3m﹣nt
=3+3m﹣3﹣3m=0,
則⊥,
可得過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品特約經(jīng)銷商根據(jù)以往當(dāng)?shù)氐男枨笄闆r,得出如下該種產(chǎn)品日需求量的頻率分布直方圖.
⑴求圖中a的值,并估計(jì)日需求量的眾數(shù);
⑵某日,經(jīng)銷商購進(jìn)130件該種產(chǎn)品,根據(jù)近期市場行情,當(dāng)天每售出1件能獲利30元,未售出的部分,每件虧損20元。設(shè)當(dāng)天需求量為件(),純利潤為S元.
①將S表示為的函數(shù);②據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)當(dāng)天純利潤S不少于3400元的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時,f(x)=x2+2x.
(1)現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示,請補(bǔ)全函數(shù)f(x)的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的遞增區(qū)間;
(2)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的值域;
(3)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校團(tuán)委組織了“文明出行,愛我中華”的知識競賽,從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其成績(單位:分)整理后,得到如下頻率分布直方圖(其中分組區(qū)間為,,…,).
(1)求成績在的頻率,并補(bǔ)全此頻率分布直方圖;
(2)求這次考試平均分的估計(jì)值;
(3)若從成績在和的學(xué)生中任選兩人,求他們的成績在同一分組區(qū)間的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=2x﹣1.
(1)求f(3)+f(﹣1);
(2)求f(x)在R上的解析式;
(3)求不等式﹣7≤f(x)≤3的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合M={(x,y)|f(x,y)=0},若對任意P1(x1 , y1)∈M,均不存在P2(x2 , y2)∈M使得x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M為“好集合”,下列集合為“好集合”的是( 。
A.M={(x,y)|y﹣lnx=0}
B.M={(x,y)|y﹣x2﹣1=0}
C.M={(x,y)|(x﹣2)2+y2﹣2=0}
D.M={(x,y)|x2﹣2y2﹣1=0}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f '(x)的圖象如圖所示, 其中-3,2,4是f '(x)=0的根, 現(xiàn)給出下列命題:
(1) f(4)是f(x)的極小值;
(2) f(2)是f(x)極大值;
(3) f(-2)是f(x)極大值;
(4) f(3)是f(x)極小值;
(5) f(-3)是f(x)極大值.
其中正確的命題是 ________________.(填上正確命題的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交y軸于點(diǎn)N,交橢圓C于點(diǎn)A、P(P在第一象限),過點(diǎn)P作y軸的垂線交橢圓C于另外一點(diǎn)Q.若 .
(1)設(shè)直線PF、QF的斜率分別為k、k',求證: 為定值;
(2)若 且△APQ的面積為 ,求橢圓C的方程.
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