Question

19．已知函數(shù)f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的極小值和最大值，并寫(xiě)明取到極小值和最大值時(shí)分別對(duì)應(yīng)x的值．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)函數(shù)求解決函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）利用單調(diào)性求解函數(shù)f（x）的極小值和最大值，求對(duì)應(yīng)x的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]
則：f′（x）=cosx+sinx+1=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+1　
令f′（x）=0，即sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（x∈[0，2π]）
解得：x=π或x=$\frac{3}{2}$π．
x，f′（x）以及f（x）變化情況如下表：

x	（0，π）	π	（π，$\frac{3}{2}$π）	$\frac{3}{2}$π	（$\frac{3}{2}$π，2π）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	π+2	遞減	$\frac{3π}{2}$	遞增

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的值為負(fù)區(qū)間即為函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（π，$\frac{3}{2}$π）．
（2）由（1）知當(dāng)x=$\frac{3π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，即f （x）_極小=f（$\frac{3}{2}$π）=$\frac{3π}{2}$．
當(dāng)x=π時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，即f（π）=π+2，
∴f（x）_max=f（2π）=2π，
故得函數(shù)f（x）的極小值為$\frac{3π}{2}$，此時(shí)x=$\frac{3π}{2}$；最大值為2π，此時(shí)x=2π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和最值問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題．