Question

12．已知焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線C的中心是原點(diǎn)O，離心率等于$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，以雙曲線C的一個焦點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為（　�。�

• A． $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{4}$=1
• B． y²-$\frac{x^2}{4}$=1
• C． $\frac{y^2}{4}$-x²=1
• D． $\frac{x^2}{4}$-y²=1

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為（0，c），漸近線方程為ax-by=0，由直線和圓相切的條件，求得b=1，再求a，即可得到雙曲線C的方程．

解答 解：設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為（0，c），漸近線方程為ax-by=0，
由于圓與雙曲線的漸近線相切，
則$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，
化簡得，b=1，
因?yàn)?\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，所以a=2，
所以雙曲線的方程為$\frac{y^2}{4}$-x²=1．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查直線和圓相切的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．