Question

20．在棱長為2R的無蓋立方體容器內裝滿水，先將半徑為R的球放入水中然后再放入一個球，使它完全浸入水中，要使溢出的水量最大，則此球的半徑是（　�。�

• A． （$\sqrt{3}$-1）R
• B． $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$R
• C． （2-$\sqrt{3}$）R
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$R

Answer 1

分析 先畫出過正方體對角面的截面圖，設小球的半徑r，通過AS=AO₁+O₁S建立等式，求出r即可求出要使流出來的水量最多時這個鐵球的半徑．

解答 解：過正方體對角面的截面圖如圖所示，設兩球的交點為S，
AC₁=2$\sqrt{3}$R，AO=$\sqrt{3}$Q，AS=AO-OS=（$\sqrt{3}$-1）R，
設小球的半徑r，tan∠C₁AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在△AO₁D中，AO₁=$\sqrt{3}$r，
∴AS=AO₁+O₁S，
∴（$\sqrt{3}$-1）R=$\sqrt{3}$r+r．
解得：r=（2-$\sqrt{3}$）R為所求．
要使流出來的水量最多，這個鐵球的半徑應該為（2-$\sqrt{3}$）R．
故選：C．

點評 本題考查球與多面體相切問題，解決此類問題必須做出正確的截面（即截面一定要過球心），再運用幾何知識解出所求量．