Question

10．已知$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（1，-1），求：
（1）|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（2）向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 由已知向量的坐標(biāo)求出向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的坐標(biāo)．
（1）直接利用向量模的公式求得|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（2）求出|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|及（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），代入數(shù)量積求夾角公式得向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（1，-1），
∴$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=（2，4）+（1，-1）=（3，3），
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=（1，2）-（1，-1）=（0，3）．
（1）|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$；
（2）|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=（3，3）•（0，3）=3×0+3×3=9．
設(shè)向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為θ（0≤θ≤π），
∴cosθ=$\frac{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{9}{3\sqrt{2}×3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，訓(xùn)練了利用數(shù)量積求兩向量的夾角，是中檔題．